Please use this identifier to cite or link to this item: http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/41448
Title: Порівняльний аналіз статистичних та скейлінгових характеристик РЕМ-зображень, отриманих на різних типах РЕМ
Other Titles: Comparative analysis of the statistical and scaling characteristics of SEM images, obtained on the different types of SEM
Сравнительный анализ статистических и скейлинговых характеристик РЭМ-изображений, полученных на разных типах РЭМauthor=О. Іванчук, О. Тумська
Authors: Ivanchuk, O.
Tumska, O.
Иванчук, О.
Тумская, О.
Affiliation: Національний університет “Львівська політехніка”
Bibliographic description (Ukraine): Ivanchuk O. Порівняльний аналіз статистичних та скейлінгових характеристик РЕМ-зображень, отриманих на різних типах РЕМ / O. Ivanchuk, O. Tumska // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва : збірник наукових праць. — Львів : Видавництво Львівської політехніки, 2017. — Том 2 (34). — С. 119–131.
Bibliographic description (International): Ivanchuk O. Comparative analysis of the statistical and scaling characteristics of SEM images, obtained on the different types of SEM / O. Ivanchuk, O. Tumska // Suchasni dosiahnennia heodezychnoi nauky ta vyrobnytstva : zbirnyk naukovykh prats. — Lviv : Vydavnytstvo Lvivskoi politekhniky, 2017. — Vol 2 (34). — P. 119–131.
Is part of: Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва : збірник наукових праць, 2017
Journal/Collection: Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва : збірник наукових праць
Volume: 2 (34)
Issue Date: 1-Jun-2017
Publisher: Видавництво Львівської політехніки
Place of the edition/event: Львів
UDC: 528.92
Keywords: цифрові РЕМ-зображення
тест- об’єкт
калібрування
статистичні
фрактальні та скейлінгові характеристики
Number of pages: 13
Page range: 119-131
Start page: 119
End page: 131
Abstract: Робота містить результати застосування статистичного та фрактального аналізів цифрових РЕМ-зображень, які отримані на різних типах РЕМ у широкому діапазоні збільшень (масштабів) від 1000х до 27000х (крат). Зокрема, обчислені параметри шумової складової РЕМ-зображень, отримано їх дисперсійні фрактальні розмірності спектрів та розмірності за значеннями яскравостей вздовж осей х і у зображень. Ці дослідження дають змогу встановити ізотропний або анізотропний характер яскравісних характеристик зображень та тип їх шумової складової. Показано, що розподіл яскравостей РЕМ-зображень може характеризуватись дисперсійною фрактальною розмірністю Dσ, яка має порівняно стале значення і неістотно змінюється у разі зміни збільшення (масштабу) РЕМ-зображення. Результати досліджень авторів можна використати під час калібрування та цифрового опрацювання РЕМ-зображень і тим самим підвищити точність отримання кількісних просторових параметрів дослідних мікроповерхонь твердих тіл.
This work contains the results of statistical and fractal analysis of digital SEM images obtained on the different types of SEM in a wide range of increases (scales) from 1000х to 27000х (multiples). In particular, the parameters of the noise component of SEM images were calculated, their dispersion fractal dimensions of spectra and dimensions were obtained from brightness values of profiles along the x and y axes of the images. These studies make it possible to determine the isotropic or anisotropic nature of the brightness characteristics of images and the type of their noise component. It is shown that the brightness distribution of SEM images can be characterized by the value of the dispersion fractal dimension s D , which has a relatively stable value and does not change significantly when the increase (scale) of the SEM image changes. The research carried out by the authors can be used in the process of calibration and digital processing of SEM images, and thereby improve the accuracy of obtaining the quantitative spatial parameters of the investigated microsurfaces of solids.
Работа содержит результаты применения статистического и фрактального анализа цифровых РЭМ- изображений, полученных на различных типах РЭМ в широком диапазоне увеличений (масштабов) от 1000х до 27000х (крат). В частности, вычислены параметры шумовой составляющей РЭМ-изображений, получены их дисперсионные фрактальные размерности спектров и размерности по величинам яркостей вдоль осей х и у изображений. Эти исследования позволяют установить изотропный или анизотропный характер яркостных характеристик изображений и тип их шумовой составляющей. Показано, что распределение яркостей РЭM- изображений может характеризоваться величиной дисперсионной фрактальной размерности Dσ, которая имеет относительно устойчивое значение и несущественно меняется при изменении увеличения (масштаба) РЭМ-изображения. Выполненные авторами исследования можно использовать в процессе калибровки и цифровой обработки РЭМ-изображений и тем самым повысить точность получения количественных пространственных параметров исследуемых микроповерхностей твердых тел.
URI: http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/41448
Copyright owner: © Західне геодезичне товариство, 2017
© Національний університет “Львівська політехніка”, 2017
References (Ukraine): 1. Анищенко В. С. Лекции по нелинейной дина- мике: учеб. пособ. для студ. вузов, обучающихся по спец. “Радиофизика и электроника” и “Физика” / В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. – 322 с.
2. Барабаш Т. К. Анализ методом фрактальной параметризации эволюции геометрии доменных структур сегнетоэлектриков при электронном облучении / Т. К. Барабаш, А. Г. Масловская // Сб. тр. 11-й Межд. конф. “Взаимодействие излучений с твердым телом”. – Минск, 2015. – С. 36–38.
3. Бобро Ю. Г. Принципы фрактальности в меха- нике разрушения металлов / Ю. Г. Бобро, В. Н. Мельник, В. У. Волошин, А. В. Шостак // Изв. РАН. Металлы. – 1997. – № 2. – С. 119–122.
4. Визильтер Ю. В. Обработка и анализ изобра- жений в задачах машинного зрения: курс лекций и практических занятий / Ю. В. Визильтер, С. Ю. Желтов, А. В. Бондаренко, М. В. Ососков, А. В. Моржин. – М.: Физматкнига, 2010. – 672 с.
5. Гонсалес Р. Цифровая обработка изображений / Р. Гонсалес, Р. Вудс. – М. : Техносфера, 2005. – 1072 с.
6. Гонсалес Р. Цифровая обработка изображений в среде MATLAB / Р. Гонсалес, Р. Вудс, С. Эддинс. – М. : Техносфера, 2006. – 616 с.
7. Журба А. А. Анализ изменений фрактальной размерности и ее распределения в процессе формирования композитной структуры быстро- режущей стали / А. А. Журба, А. И. Михалев, С. И. Губенко, Е. А. Черноиваненко // Системные технологии. – 2012, 4(81). – С. 155–164.
8. Іванчук О. М. Структура та функції програмного комплексу “Dimicros” для опрацювання РЕМ- зображень на цифровій фотограмметричній станції / О. М. Іванчук, І. В. Хрупін // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва. – Львів, 2012. – Вип. I (23). – С. 193–197.
9. Іванчук О. М. Дослідження точності визначення дійсних величин збільшення (масштабу) циф- рових РЕМ-зображень, отриманих на РЕМ JCM-5000 (NeoScope) фірми JEOL // Геодезія, картографія і аерознімання. – Львів, 2012. – Вип. 76. – С. 80–84.
10. Іванчук О. М. Дослідження величин геомет- ричних спотворень цифрових РЕМ-зображень, отриманих на РЕМ DSM-960A (Carl Zeiss, Німеччина) та точності їх врахування / О. М. Іванчук, Т. Барфельс, Я. Гееґ, В. Геґєр // Геодезія, картографія і аерознімання. – Львів, 2013. – Вип. 78. – С. 120–126.
11. Іванчук О. Дослідження геометричних спотво- рень цифрових РЕМ-зображень, отриманих на РЕМ JCM-5000 (NeoScope), та їх апроксимація // Наукові праці Донецького національного технічного університету. Серія: гірничо-геоло- гічна. – Донецьк, 2013. – Вип. 1 (18). – С. 91–97.
12. Іванчук О. Дослідження похибок збільшення (масштабу) цифрових РЕМ-зображень, отри- маних на РЕМ-106І (Суми, Україна) за допо- могою спеціальних тест-об’єктів / О. Іванчук, М. Чекайло // Геодезія, картографія і аерознімання. – Львів, 2014. – Вип. 79. – С. 82–88.
13. Іванчук О. Дослідження геометричних спотво- рень цифрових РЕМ-зображень, отриманих на РЕМ-106 І (Суми, Україна) // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва. – Львів, 2014. – Вип. ІI (28). – С. 74–77.
14. Іванчук О. Особливості калібрування геометри- чних спотворень цифрових РЕМ-зображень, отриманих на різних РЕМ // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва. – Львів, 2015. – Вип. I (29). – С. 168–173.
15. Іванчук О. Дослідження геометричних спотво- рень цифрових РЕМ-зображень, отриманих на РЕМ JSM-7100F (JEOL, Японія), та точність їх апроксимації // Геодезія, картографія і аерозні- мання. – Львів, 2015. – Вип. 81. – С. 101–109.
16. Іванчук О. Розроблення та дослідження техно- логії автоматизації калібрування геометричних спотворень цифрових РЕМ-зображень, отриманих на РЕМ JCM-5000 (NeoScope) (JEOL, Японія), і їх врахування / О. Іванчук, О. Тумська // Геодезія, картографія і аерознімання. – Львів, 2016. – Вип. 84. – С. 56–64.
17. Іванчук О. Методика автоматизованого визна- чення координат центрів вузлів тест-об’єкта за його РЕМ-зображеннями з використанням засобів MatLab / О. Іванчук, О. Тумська // Сучасні досягнення геодезичної науки та вироб- ництва. – Львів, 2017. – Вип. І (33). – С. 158–165.
18. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах / Р. М. Кроновер. – М.: Техносфера, 2006. – 488 с.
19. Кульков С. Н. Фрактальная размерность поверх- ности при деформационном мартенситном превращении в никелиде титана / С. Н. Кульков, Ю. П. Миронов; Институт физики прочности и материаловедения СО РАН // Журнал техни- ческой физики. – 2004. –. 74, вып. 4.
20. Латыпова Н. В. Компъютерная обработка данных. Фракталы: учеб. пособ. / Н. В. Латыпова. – Ижевск: Удмуртский университет, 2012. – 78 с.
21. Масловская А. Г. Расчёт скейлинговых характе- ристик РЭМ-изображений доменных структур сегнетоэлектриков методами фрактальной пара- метризации / А. Г. Масловская, Т. К. Барабаш // Сб. тр. 11-й Междун. конф. “Взаимодействие излучений с твердым телом”. – Минск, 2015. – С. 39–46.
22. Мельник В. Н. Калибровка геометрических искажений РЭМ-снимков / В. Н. Мельник, В. Н. Соколов, О. М. Иванчук, О. В. Тумская, М. П. Шебатинов // Рук. деп. в ВИНИТИ. – M., 1984. – № 528. –18 c.
23. Мельник В. Н. Фрактальная и стереомет- рическая оценки РЭМ-изображений шероховатых поверхностей / В. Н. Мельник, В. Н. Соколов // Изв. РАН. Серия физическая. – 1993. – № 8. – С. 99–105.
24. Мельник В. Н. Определение фрактальности поверхностей разрушения по данным РЭМ- стереоизмерений / В. Н. Мельник, Ю. Г. Бобро, А. В. Шостак, В. У. Волошин // Трение и износ. – 1996. – Т. 16, № 6. – С. 38–41.
25. Мельник В. М. Методи кількісної характер- ристики мікроструктури ґрунту / В. М. Мельник, В. У. Волошин, Ф. П. Тарасюк, Ю. С. Бліндер // Вісн. Львів. держ. ун-ту. Серія географічна / Львів. держ. ун-т ім. Івана Франка; голов. ред. С. П. Позняк. – Львів, 1999. – № 25. – С. 24–27.
26. Мельник В. М. Оцінка деструктивних змін кісткової тканини методами структурної функції та фрактального аналізу / В. М. Мельник, В. У. Волошин // Наук. вісн. Волин. держ. ун-ту ім. Лесі Українки. – Луцьк, 2002. – № 3. – С. 166–171.
27. Мельник В. М. Растрово-електронна стереомік- рофрактографія: монографія / В. М. Мельник, А. В. Шостак. – Луцьк: Вежа, 2009. – 469 с.
28. Неежмаков К. П. Особенности калибровки растрового электронного микроскопа РЭМ-106 // Метрологія. – Харків, 2012. – С. 468–470.
29. Потапов А. А. Новейшие методы обработки изображений / А. А. Потапов, Ю. В. Гуляев, С. А. Никитов, А. А. Пахомов, В. А. Герман. – М.: Физматлит, 208. – 496 с.
30. Тарасов С. Ю. Применение фракталов к анализу процессов трения / С. Ю. Тарасов, А. В. Колубаев, А. Г. Липницкий // Письма в ЖТФ. – 1999. Т. 25. – № 3.
31. Торхов Н. А. Определение фрактальной размер- ности поверхности эпитаксиального n-GaAs в локальном пределе / Н. А. Торхов, В. Г. Божков, И. В. Ивонин, В. А. Новиков // Физика и техника полупроводников, 2009. – Т. 43, вып. 1.
32. Федер Е. Фракталы: пер. с англ. / Е. Федер. – М.: Мир, 1991. – 254 с.
33. Хлюпин А. Н. Фрактальный анализ трехмерной микроструктуры пористых материалов / А. Н. Хлю- пин, О. Ю. Динариев // Журнал технической физики. – 2015. – Т. 85, вып. 6. – С. 17–22.
34. Шостак А. В. Методи і моделі мікрофото- грамметрії у прикладних наукових досліджен- нях: автореф. дис… д-ра техн. наук : 05.24.01 / Шостак Анна Володимирівна; Луцький нац. техн. університет. – К., 2012. – 28 с.
35. Badii R. Hausdorff dimension and uniformity of strange attractors / R. Badii, A. Politi // Phys. Rev.,1984. – Lett. 52. – P. 1661–1664.
36. Mandelbrot B. The fractal geometry of nature. – N.Y.: Freeman, 1983. – 469 p.
37. Meakin P. Scaling properties for the growth probability measure and harmonic measure of fractal structures // Phys. Rev., 1987. – Lett. A35. – P. 2234–2245.
References (International): 1. Anishchenko V. S. Lektsii po nelineinoi dina- mike: tutorial dlia stud. vuzov, obuchaiushchikhsia po spets. "Radiofizika i elektronika" i "Fizika", V. S. Anishchenko, T. E. Vadivasova, Saratov: Izd-vo Sarat. un-ta, 2010, 322 p.
2. Barabash T. K. Analiz metodom fraktalnoi parametrizatsii evoliutsii heometrii domennykh struktur sehnetoelektrikov pri elektronnom obluchenii, T. K. Barabash, A. H. Maslovskaia, Sb. tr. 11-i Mezhd. konf. "Vzaimodeistvie izluchenii s tverdym telom", Minsk, 2015, P. 36–38.
3. Bobro Iu. H. Printsipy fraktalnosti v mekha- nike razrusheniia metallov, Iu. H. Bobro, V. N. Melnik, V. U. Voloshin, A. V. Shostak, Izv. RAN. Metally, 1997, No 2, P. 119–122.
4. Vizilter Iu. V. Obrabotka i analiz izobra- zhenii v zadachakh mashinnoho zreniia: kurs lektsii i prakticheskikh zaniatii, Iu. V. Vizilter, S. Iu. Zheltov, A. V. Bondarenko, M. V. Ososkov, A. V. Morzhin, M., Fizmatkniha, 2010, 672 p.
5. Honsales R. Tsifrovaia obrabotka izobrazhenii, R. Honsales, R. Vuds, M. : Tekhnosfera, 2005, 1072 p.
6. Honsales R. Tsifrovaia obrabotka izobrazhenii v srede MATLAB, R. Honsales, R. Vuds, S. Eddins, M. : Tekhnosfera, 2006, 616 p.
7. Zhurba A. A. Analiz izmenenii fraktalnoi razmernosti i ee raspredeleniia v protsesse formirovaniia kompozitnoi struktury bystro- rezhushchei stali, A. A. Zhurba, A. I. Mikhalev, S. I. Hubenko, E. A. Chernoivanenko, Sistemnye tekhnolohii, 2012, 4(81), P. 155–164.
8. Ivanchuk O. M. Struktura ta funktsii prohramnoho kompleksu "Dimicros" dlia opratsiuvannia REM- zobrazhen na tsyfrovii fotohrammetrychnii stantsii, O. M. Ivanchuk, I. V. Khrupin, Suchasni dosiahnennia heodezychnoi nauky ta vyrobnytstva, Lviv, 2012, Vyp. I (23), P. 193–197.
9. Ivanchuk O. M. Doslidzhennia tochnosti vyznachennia diisnykh velychyn zbilshennia (masshtabu) tsyf- rovykh REM-zobrazhen, otrymanykh na REM JCM-5000 (NeoScope) firmy JEOL, Heodeziia, kartohrafiia i aeroznimannia, Lviv, 2012, Iss. 76, P. 80–84.
10. Ivanchuk O. M. Doslidzhennia velychyn heomet- rychnykh spotvoren tsyfrovykh REM-zobrazhen, otrymanykh na REM DSM-960A (Carl Zeiss, Nimechchyna) ta tochnosti yikh vrakhuvannia, O. M. Ivanchuk, T. Barfels, Ya. Heeg, V. Hegier, Heodeziia, kartohrafiia i aeroznimannia, Lviv, 2013, Iss. 78, P. 120–126.
11. Ivanchuk O. Doslidzhennia heometrychnykh spotvo- ren tsyfrovykh REM-zobrazhen, otrymanykh na REM JCM-5000 (NeoScope), ta yikh aproksymatsiia, Naukovi pratsi Donetskoho natsionalnoho tekhnichnoho universytetu. Serie: hirnycho-heolo- hichna, Donetsk, 2013, Iss. 1 (18), P. 91–97.
12. Ivanchuk O. Doslidzhennia pokhybok zbilshennia (masshtabu) tsyfrovykh REM-zobrazhen, otry- manykh na REM-106I (Sumy, Ukraine) za dopo- mohoiu spetsialnykh test-obiektiv, O. Ivanchuk, M. Chekailo, Heodeziia, kartohrafiia i aeroznimannia, Lviv, 2014, Iss. 79, P. 82–88.
13. Ivanchuk O. Doslidzhennia heometrychnykh spotvo- ren tsyfrovykh REM-zobrazhen, otrymanykh na REM-106 I (Sumy, Ukraine), Suchasni dosiahnennia heodezychnoi nauky ta vyrobnytstva, Lviv, 2014, Vyp. II (28), P. 74–77.
14. Ivanchuk O. Osoblyvosti kalibruvannia heometry- chnykh spotvoren tsyfrovykh REM-zobrazhen, otrymanykh na riznykh REM, Suchasni dosiahnennia heodezychnoi nauky ta vyrobnytstva, Lviv, 2015, Vyp. I (29), P. 168–173.
15. Ivanchuk O. Doslidzhennia heometrychnykh spotvo- ren tsyfrovykh REM-zobrazhen, otrymanykh na REM JSM-7100F (JEOL, Yaponiia), ta tochnist yikh aproksymatsii, Heodeziia, kartohrafiia i aerozni- mannia, Lviv, 2015, Iss. 81, P. 101–109.
16. Ivanchuk O. Rozroblennia ta doslidzhennia tekhno- lohii avtomatyzatsii kalibruvannia heometrychnykh spotvoren tsyfrovykh REM-zobrazhen, otrymanykh na REM JCM-5000 (NeoScope) (JEOL, Yaponiia), i yikh vrakhuvannia, O. Ivanchuk, O. Tumska, Heodeziia, kartohrafiia i aeroznimannia, Lviv, 2016, Iss. 84, P. 56–64.
17. Ivanchuk O. Metodyka avtomatyzovanoho vyzna- chennia koordynat tsentriv vuzliv test-obiekta za yoho REM-zobrazhenniamy z vykorystanniam zasobiv MatLab, O. Ivanchuk, O. Tumska, Suchasni dosiahnennia heodezychnoi nauky ta vyrob- nytstva, Lviv, 2017, Vyp. I (33), P. 158–165.
18. Kronover R. M. Fraktaly i khaos v dinamicheskikh sistemakh, R. M. Kronover, M., Tekhnosfera, 2006, 488 p.
19. Kulkov S. N. Fraktalnaia razmernost poverkh- nosti pri deformatsionnom martensitnom prevrashchenii v nikelide titana, S. N. Kulkov, Iu. P. Mironov; Institut fiziki prochnosti i materialovedeniia SO RAN, Zhurnal tekhni- cheskoi fiziki, 2004. –. 74, Iss. 4.
20. Latypova N. V. Kompieiuternaia obrabotka dannykh. Fraktaly: tutorial, N. V. Latypova, Izhevsk: Udmurtskii universitet, 2012, 78 p.
21. Maslovskaia A. H. Raschet skeilinhovykh kharakte- ristik REM-izobrazhenii domennykh struktur sehnetoelektrikov metodami fraktalnoi para- metrizatsii, A. H. Maslovskaia, T. K. Barabash, Sb. tr. 11-i Mezhdun. konf. "Vzaimodeistvie izluchenii s tverdym telom", Minsk, 2015, P. 39–46.
22. Melnik V. N. Kalibrovka heometricheskikh iskazhenii REM-snimkov, V. N. Melnik, V. N. Sokolov, O. M. Ivanchuk, O. V. Tumskaia, M. P. Shebatinov, Ruk. dep. v VINITI, M., 1984, No 528. –18 c.
23. Melnik V. N. Fraktalnaia i stereomet- richeskaia otsenki REM-izobrazhenii sherokhovatykh poverkhnostei, V. N. Melnik, V. N. Sokolov, Izv. RAN. Seriia fizicheskaia, 1993, No 8, P. 99–105.
24. Melnik V. N. Opredelenie fraktalnosti poverkhnostei razrusheniia po dannym REM- stereoizmerenii, V. N. Melnik, Iu. H. Bobro, A. V. Shostak, V. U. Voloshin, Trenie i iznos, 1996, V. 16, No 6, P. 38–41.
25. Melnyk V. M. Metody kilkisnoi kharakter- rystyky mikrostruktury gruntu, V. M. Melnyk, V. U. Voloshyn, F. P. Tarasiuk, Yu. S. Blinder, Visn. Lviv. derzh. un-tu. Seriia heohrafichna, Lviv. derzh. un-t im. Ivana Franka; holov. red. S. P. Pozniak, Lviv, 1999, No 25, P. 24–27.
26. Melnyk V. M. Otsinka destruktyvnykh zmin kistkovoi tkanyny metodamy strukturnoi funktsii ta fraktalnoho analizu, V. M. Melnyk, V. U. Voloshyn, Nauk. visn. Volyn. derzh. un-tu im. Lesi Ukrainky, Lutsk, 2002, No 3, P. 166–171.
27. Melnyk V. M. Rastrovo-elektronna stereomik- rofraktohrafiia: monograph, V. M. Melnyk, A. V. Shostak, Lutsk: Vezha, 2009, 469 p.
28. Neezhmakov K. P. Osobennosti kalibrovki rastrovoho elektronnoho mikroskopa REM-106, Metrolohiia, Kharkiv, 2012, P. 468–470.
29. Potapov A. A. Noveishie metody obrabotki izobrazhenii, A. A. Potapov, Iu. V. Huliaev, S. A. Nikitov, A. A. Pakhomov, V. A. Herman, M., Fizmatlit, 208, 496 p.
30. Tarasov S. Iu. Primenenie fraktalov k analizu protsessov treniia, S. Iu. Tarasov, A. V. Kolubaev, A. H. Lipnitskii, Pisma v ZhTF, 1999. V. 25, No 3.
31. Torkhov N. A. Opredelenie fraktalnoi razmer- nosti poverkhnosti epitaksialnoho n-GaAs v lokalnom predele, N. A. Torkhov, V. H. Bozhkov, I. V. Ivonin, V. A. Novikov, Fizika i tekhnika poluprovodnikov, 2009, V. 43, Iss. 1.
32. Feder E. Fraktaly: transl. from English, E. Feder, M., Mir, 1991, 254 p.
33. Khliupin A. N. Fraktalnyi analiz trekhmernoi mikrostruktury poristykh materialov, A. N. Khliu- pin, O. Iu. Dinariev, Zhurnal tekhnicheskoi fiziki, 2015, V. 85, Iss. 6, P. 17–22.
34. Shostak A. V. Metody i modeli mikrofoto- hrammetrii u prykladnykh naukovykh doslidzhen- niakh: avtoref. dys… d-ra tekhn. nauk : 05.24.01, Shostak Anna Volodymyrivna; Lutskyi nats. tekhn. universytet, K., 2012, 28 p.
35. Badii R. Hausdorff dimension and uniformity of strange attractors, R. Badii, A. Politi, Phys. Rev.,1984, Lett. 52, P. 1661–1664.
36. Mandelbrot B. The fractal geometry of nature, N.Y., Freeman, 1983, 469 p.
37. Meakin P. Scaling properties for the growth probability measure and harmonic measure of fractal structures, Phys. Rev., 1987, Lett. A35, P. 2234–2245.
Content type: Article
Appears in Collections:Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва. – 2017. – Випуск 2(34)



Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.